Mathématiques MPC 2 (Algèbre et Analyse) (Coef. 9)

Informations

Langue d'enseignement : Français
Crédits ECTS: 0
Cours magistraux : 56 heures
Travaux dirigés : 62 heures

Programme

Algèbre

Polynômes sur R ou C? et fonctions polynomiales associées?: Degré, Divisions euclidiennes PGCD, PPCM, Bézout, Polynôme dérivée, formule de Taylor, racines d’un polynôme, théorème d’Alembert, polynômes irréductibles sur K, théorème fondamental de l’arithmétique des polynômes, polynôme scindé, Somme et produit des racines en fonction des coefficients.

Fractions rationnelles sur K ou C. Décomposition en éléments simples.

Algèbre linéaire.

Espace vectoriel sur K ou C. Sous espace vectoriel, familles libres, liées, génératrices. Base, dimension, théorème de la base extraite et de la base incomplète. Somme et intersection de sous espace vectoriel, formule de Grassmann, somme directe. Applications linéaires,

Caractérisation par l’image d’une base, noyau, image, rang théorème du rang, caractérisation des isomorphismes.

Introduction aux déterminants.

Déterminant d’une matrice carrée de taille n, d’une famille de n vecteurs, d’un morphisme entre espace d’espace vectoriel de dimension n. Opérations sur les colonnes, sur les lignes. Développements selon une ligne ou une colonne?. Caractérisation des bases,

des isomorphismes par les déterminants. Déterminant d’un produit de matrice, d’un inverse, d’une transposée.

Analyse

Série numérique. Série à termes positifs, convergence ou divergence, théorème de comparaison, liens avec les suites croissantes, série équivalente, série de Riemann

Intégrations

Intégrale d'une fonction continue par morceaux sur un segment. Linéarité. Majoration du module d'une intégrale. Compléments sur les calculs d'intégrales et de primitives. Changement de variable, Intégration par partie. Dérivées successives. Formules de Taylor. Avec reste intégral. Extension aux fonctions continues à valeurs complexes. Série absolument convergente.

Courbes paramétrées.

Application des développements limités à l’étude des courbes. Etude locale d’une fonction. Position de la tangente, extremum. Fonctions vectorielles d’un intervalle de R dans le plan. Arcs plans paramétrés (généralités, tangentes, point de rebroussements, inflexions). Branches infinies et asymptotes, tableau de variation, représentation dans un repère orthonormé

Dénombrement et Probabilités.

Dénombrement, cardinal d’un ensemble fini, opérations sur les cardinaux, cardinal de l’ensemble des applications d’un ensemble fini dans un ensemble fini. Cardinal de l’ensemble de parties d’un ensemble de dimension fini. Combinaison, nombre de permutation, nombre d’arrangement.

Probabilités (univers fini). Expériences aléatoires et univers. Espace de probabilité finis. Probabilité conditionnelle, événements indépendants, variables aléatoire. Lois usuelles (loi uniforme, loi de Bernoulli)

Objectifs et compétences

- Non défini -

Organisation pédagogique

- Non défini -

Contrôle des connaissances

4 DS d’1h30 (0.125 chacun) et 2 DST de 3h (0.25 chacun)

Lectures recommandées

- Non défini -

Responsable de l'unité d'enseignement

Mouez DIMASSI

Enseignants

- Non défini -