Mathématiques MP 4 (Analyse) (Coef.6)

Informations

Langue d'enseignement : Français
Crédits ECTS: 0
Cours magistraux : 56 heures
Travaux dirigés : 56 heures

Programme

Analyse

I) Dérivation des fonctions vectorielles

* Fonction vectorielles dérivables (définitions)

* Opération sur les fonctions vectorielles (linéarité, composition par application bilinéaire, fonctions à valeurs complexes)

* Fonctions vectorielles de classe C^k (composition, difféomorphisme, C^k par morceaux)

II) Intégration sur un segment des fonctions vectorielles

* Fonctions en escaliers

* Fonctions continues par morceaux

* Propriétés (linéarité de l'intégrale, relation de Chasles, majoration de la norme de l'intégrale par l'intégrale de la norme, inégalité de la moyenne)

III) Fonctions vectorielles : lien entre intégration et dérivation

* Primitives (théorème fondamental)

* Méthodes de calcul (Intégration par parties, changement de variable)

* Inégalité des accroissements finis et conséquences

* Formules de Taylor

IV) Intégration des fonctions numériques continues par morceaux sur un intervalle quelconque

* Intégrales généralisées, fonctions intégrables

* Critères d'intégrabilité des fonctions positives

* Propriétés (linéarité, relation de Chasles, intégration par parties, changement de variable

* Suite et séries de fonctions intégrables (Théorème de convergence dominée)

V) Fonctions définies par une intégrale

* Intégrales dépendant d'un paramètre

Transformations de Fourier et de Laplace

Fonctions de plusieurs variables:

Différentielle/dérivée, applications partielles, dérivées partielles, applications à valeurs dans un espace produit, dérivées d'ordre supérieur, C^k difféomorphismes, théorèmes d'inversion, TFI, équations de la tangente, du plan tangent.

Séries de Fourier définitions, convergence en moyenne quadratique, cas continue par morceaux, convergence simple, normale.

* Probabilité?

Dénombrabilité d'un ensemble, exemple de Z et d'un produit cartésien.

Définition d'une tribu. Probabilité sur une tribu : monotonie et sous-additivité.

Conditionnement et indépendance :

Probabilité conditionnelle d'un événement, formule de probabilités composées et des probabilités totales.

Formule de Bayes, indépendance de deux événements. Indépendance mutuelle d'une famille finie d'événements.

Variable aléatoire discrète.

?

Définitions et lois d'une variable aléatoire discrète. Fonction de répartition, croissance et limite. Existence d'une probabilité associée à une variable aléatoire discrète.

Couple de variables aléatoires discrètes. Loi conjointe et lois marginales, loi conditionnelle. Variables aléatoires indépendantes.

Espérance et variances :

Définition de l'espérance par une série convergente. Théorème du transfert.

Linéarité de l'espérance, positivité, croissance, cas des variables aléatoires indépendantes.

Variance, écart-type, inégalité de Bienaymé-Tchebychev. Variance d'une somme de variables aléatoires, covariance, coefficient de corrélation.

Série génératrice dans le cas d'une variable à valeurs entières. Rayon de convergence, lien avec l'espérance et la variance. Série génératrice d'une somme de variables aléatoires indépendantes.

Lois usuelles :

Loi géométrique, série génératrice, espérance et variance. Loi sans mémoire.

Loi de Poisson, série génératrice, espérance et variance. Somme de deux lois de Poisson.

Asymptotiques :

Approximation de la loi binomiale par la loi de Poisson. Loi faible des grands nombres.

Objectifs et compétences

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Organisation pédagogique

- Non défini -

Contrôle des connaissances

Session 1 :

  • 2 DS d’1h30 (0.25 chacun) et 1 DST de 3h (0.5)

Session 2 :

  • Report 2 DS (0.5)
  • DST de 3h ou oral (0.5)

Lectures recommandées

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Responsable de l'unité d'enseignement

Patrick FISCHER

Enseignants

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