Exponential sums over finite fields

Informations

Langue d'enseignement : Anglais
Crédits ECTS: 6

Programme

  • Heures d'enseignement dispensées à l'étudiant : 33 heures
  • Temps de travail personnel : 120 heures

Objectifs et compétences

Objectifs :
Cette UE est un cours avancé présentant l'état de l'art sur un sujet de recherche défini annuellement, et visant à préparer les étudiants à une activité de recherche dans le cadre du mémoire de master et en vue d'une poursuite en doctorat.

In many classical problems in analytic number theory (such as Waring’s problem, the ternary Goldbach problem, the existence of bounded gaps between primes,…) a crucial input comes from sharp estimates for character sums over finite fields. The well known Gaussian sum can be seen as the first non trivial interesting example of such a sum: precise estimates on Gaussian sums immediately lead to a proof of the quadratic reciprocity law. In this series of lectures we will describe various questions in number theory for which estimates for particular character sums over finite fields are needed. We will go on by describing elementary methods (following F. K. Schmidt, Stepanov, Bombieri…) leading to non trivial (and sometines best possible) bounds for these sums. The last part of the course will be devoted to more advanced methods where the sums considered are put in the geometric context of so-called « trace functions ». Notably some applications of Deligne’s « Riemann Hypothesis » will be discussed.

Bibliography:

Browning, Exponential sums over finite fields, lecture notes, available at https://people.maths.bris.ac.uk/~matdb/tcc/EXP/EXP.pdf

Deligne, SGA 4 1/2, Chap 6.

Iwaniec–Kowalski, Analytic Number Theory, AMS Colloquium Publications 53.

Schmidt, Equations over finite fields, an elementary approach, Springer, LNM 536.

Compétences :
  • S’organiser individuellement, gérer son temps et ses priorités, planifier ; s’autoévaluer

  • Maîtriser les techniques courantes en mathématiques pures et appliquées, dans le but d'un approfondissement ultérieur ou de leur transmission dans le cadre dune situation professionnelle

Organisation pédagogique

le mode de fonctionnement de l'UE est présenté au début des enseignements

Contrôle des connaissances

Session 1

Contrôle continu (CC) et DS terminal de 3 h (note DST1) CC*0.4+DST1*0.6

Session 2

DS de 3h ou oral suivant effectif, note DST2. Note finale: Max(CC*0.4+DST2*0.6,DST2)

Lectures recommandées

l'ensemble des références bibliographiques est communiqué au début des enseignements

Responsable de l'unité d'enseignement

Christine Bachoc

Enseignants

la composition de l'ensemble de l'équipe pédagogique est communiquée au début des enseignements