Théorie des nombres

Informations

Langue d'enseignement : Français
Crédits ECTS: 9

Programme

  • Heures d'enseignement dispensées à l'étudiant : 75 heures
  • Temps de travail personnel : 150 heures

Objectifs et compétences

Objectifs :
Assimiler les notions de théorie des nombres nécessaire à un parcours M2 destiné à la recherche en algèbre et géométrie

A) Théorie Algébrique

(1) Rappels et compléments d'algèbre commutative.

(a) Anneaux principaux, factoriels, noethériens, locaux, de valuation discrète. Localisation dans le cas d'un anneau intègre.

(b) Modules de type fini sur un anneau principal.

(2) Anneaux d'entiers.

(a) Entiers algébriques ; norme, trace, discriminant.

(b) Bases des anneaux d'entiers des corps de nombres.

(c) Algorithmes de calcul.

(3) Anneaux de Dedekind. Factorisation.

(a) Anneaux de Dedekind.

(b) Factorisation des idéaux ; groupe des classes.

(c) Factorisation dans une extension ; ramification.

(4) Théorèmes de finitude du groupe des classes.

(a) Norme d'un idéal ; théorème principal et ses conséquences.

(b) Réseaux dans un espace euclidien ; inégalité de Minkowski.

(c) Démonstration du théorème de finitude.

(5) Théorème des unités.

(a) Enoncé et démonstration du théorème de Dirichlet.

(b) Régulateur d'un corps de nombres.

(c) Unités des corps quadratiques réels.

(6) Exemples : corps des corps quadratiques et des corps cyclotomiques.

(a) Classes et unités des extensions quadratiques.

(b) Classes et unités des extensions cyclotomiques.

B) Théorie analytique des nombres

(1) Séries de Dirichlet

(2) Exemples:

(a) Fonction zeta de Riemann, énoncé du théorème des nombres premiers et de l'hypothèse de Riemann.

(b) Caractères des groupes abéliens finis.

(c) Fonctions L de Dirichlet et théorème de la progression arithmétique.

(d) Fonction zeta de Dedekind, énoncé de la formule analytique du nombre de classes.

Compétences :
  • Être en capacité d'investir ses connaissances et aptitudes dans le cadre d'une mise en situation professionnelle.
  • Être initié au processus de production, de diffusion et de valorisation des connaissances.
  • Mobiliser les ressources de Formation à Distance
  • Travailler en équipe autant qu’en autonomie et responsabilité au service d’un projet
  • Identifier et situer les champs professionnels potentiellement en relation avec les acquis de la mention ainsi que les parcours possibles pour y accéder
  • se servir aisément de la compréhension et de l'expression écrites et orales en anglais
  • Etre capable de communiquer des résultats à l'écrit et à l'oral
  • Sensibilisation à la pratique professionnelle

  • Être autonome dans le travail
  • Faire preuve de capacités de recherche d'informations, d'analyse et de synthèse.
  • Maîtriser l'expression écrite et orale de la langue française et ses techniques d'expression
  • Maitriser le vocabulaire technique des différents enseignements
  • Savoir construire et rédiger un état de l'art
  • Rédiger des documents de travail ( rapports, notes de synthèse...) adaptés aux personnes et situations rencontrées et appropriés aux organisations et structures concernées
  • Identifier et sélectionner diverses ressources spécialisées pour documenter un sujet
  • Analyser et synthétiser des données en vue de leur exploitation
  • Se servir aisément de la compréhension et de l’expression écrites et orales dans au moins une langue vivante étrangère
  • Savoir se remettre en question, faire preuve d'esprit critique
  • S’organiser individuellement, gérer son temps et ses priorités, planifier ; s’autoévaluer
  • Poursuivre par soi-même ses apprentissages ; se préparer à se former tout au long de la vie
  • Faire preuve d’initiative et de créativité
  • Être autonome dans l’activité d’écriture et montrer à cette occasion sa capacité à communiquer sa pensée, à raisonner et à organiser ses connaissances.
  • Construire et illustrer un exposé adapté à l’objet, aux circonstances et au public ; prendre la parole en public ou en équipe
  • Construire et développer une argumentation.
  • Maitriser les concepts fondamentaux en mathématiques et en probabilité

  • Connaître et mettre en application les principaux modèles mathématiques intervenant dans les différentes disciplines connexes du domaine Sciences et Technologies mais aussi des autres domaines
  • Maîtriser les bases de la logique et organiser un raisonnement mathématique.
  • Mettre en œuvre une intuition géométrique.
  • Construire et rédiger une démonstration mathématique synthétique et rigoureuse.
  • Être familiarisé avec les propriétés algébriques, analytiques et géométriques des espaces R, R2, R3.
  • Être capable de résoudre des équations (linéaires, algébriques, différentielles) de façon exacte et par des méthodes numériques.
  • Maîtriser la notion d'approximation en s'appuyant sur les notions de limite, de norme, de comparaison asymptotique et la notion d'ordre de grandeur.
  • Être capable de mettre en oeuvre des algorithmes de base de calcul scientifique
  • Utiliser des logiciels de calcul formel et scientifique
  • Être capable de traduire un problème simple en langage mathématique.
  • Maîtriser les techniques courantes en mathématiques pures et appliquées, dans le but d'un approfondissement ultérieur ou de leur transmission dans le cadre dune situation professionnelle
  • Être familiarisé avec les propriétés algébriques, analytiques et géométriques de R et Rn.
  • Connaitre les propriétés des différentes structures algébriques.
  • Savoir résoudre des équations de façon qualitative.
  • Maîtriser des techniques de codage correcteur d'erreurs, de compression en théorie de l'information.

  • Suivre l’évolution des connaissances et transmettre son savoir
  • Manipuler les principaux modèles mathématiques utilisés en ingénierie.
  • Utiliser des outils mathématiques (y compris le calcul numérique et matriciel) et statistiques.
  • Etre en capacité de réinvestir les connaissances acquises dans un contexte professionnel.
  • Savoir construire une leçon de mathématiques
  • Mobiliser les concepts mathématiques, informatiques, de la physique et de la chimie pour gérer et résoudre des problématiques à fort niveau d’abstraction

Organisation pédagogique

le mode de fonctionnement de l'UE est présenté au début des enseignements

Contrôle des connaissances

Session 1

Contrôle continu (CC) et DS terminal de 3 h (note DST1) CC*0.4+DST1*0.6

Session 2

DS de 3h ou oral suivant effectif, note DST2. Note finale: Max(CC*0.4+DST2*0.6,DST2)

Lectures recommandées

l'ensemble des références bibliographiques est communiqué au début des enseignements

Responsable de l'unité d'enseignement

Olivier Brinon

Enseignants

la composition de l'ensemble de l'équipe pédagogique est communiquée au début des enseignements