Théorie des ensembles, espaces quadratiques

Informations

Langue d'enseignement : Français
Crédits ECTS: 6

Programme

  • Heures d'enseignement dispensées à l'étudiant : 50 heures
  • Temps de travail personnel : 150 heures

Objectifs et compétences

Objectifs :
L'objectif de ce cours est de fournir des notions de mathématiques avancées permettant de saisir l'unité des mathématiques.

Différents thèmes y seront présentés dont

(1) Construction des entiers (axiomatique de Péano), des rationnels, dénombrabilité.

Thème d'application: nombres premiers.

(2) Construction des réels. Irrationalité.

Thème d'application: complétion d'un espace métrique.

(3) Espaces quadratiques.

(a) Formes quadratiques : polarisation ; bases orthogonales ; réduction de Gauss.

(b) Plans hyperboliques et espaces hyperboliques, espaces anisotropes, indice de Witt.

(c) Groupe orthogonal, réflexions et retournements.

(d) Théorèmes de Witt et de Cartan-Dieudonné, applications.

(e) Classification des espaces quadratiques. Cas des corps algébriquement clos, des réels, des corps finis.

(f) Application à la classification affine des coniques et des quadriques réelles.\\

(g) Thème d'approfondissement: quaternions.

(4) Espaces symplectiques.

(a) Formes antisymétriques et formes alternées.

(b) Classification des espaces symplectiques de dimension finie.

(c) Le groupe symplectique.

Compétences :
  • Connaître le ou les champs professionnel(s) associé(s) à la discipline.

  • Être autonome dans le travail

  • Connaître et mettre en application les principaux modèles mathématiques intervenant dans les différentes disciplines connexes du domaine Sciences et Technologies mais aussi des autres domaines

  • Suivre l’évolution des connaissances et transmettre son savoir

Organisation pédagogique

le mode de fonctionnement de l'UE est présenté au début des enseignements

Contrôle des connaissances

Session 1

Contrôle continu (CC) et DS terminal de 3 h (note DST1) CC*0.4+DST1*0.6

Session 2

DS de 3h ou oral suivant effectif, note DST2. Note finale: Max(CC*0.4+DST2*0.6,DST2)

Lectures recommandées

l'ensemble des références bibliographiques est communiqué au début des enseignements

Responsable de l'unité d'enseignement

Philippe Jaming

Enseignants

la composition de l'ensemble de l'équipe pédagogique est communiquée au début des enseignements