Espaces de Hilbert-Analyse de Fourier

Informations

Langue d'enseignement : Français
Crédits ECTS: 6

Programme

  • Heures d'enseignement dispensées à l'étudiant : 50 heures
  • Temps de travail personnel : 100 heures

Objectifs et compétences

Objectifs :
Le but de ce cours est d'introduire les concepts les plus importants de la théorie des espaces de Hilbert et des opérateurs définis sur ces espaces.

La raison pour laquelle on dédie un cours entier aux espaces de Hilbert est simple à comprendre : parmi les espaces vectoriels de dimension infinie, les espaces de Hilbert constituent l'objet mathématique le plus proche des espaces Euclidiens de dimension finie, où on développe l'analyse et l'algèbre linéaire classiques.

Quand on passe en dimension infinie, des subtilités de nature topologique imposent de rajouter des conditions (que en dimension finie sont toujours vérifiées) pour pouvoir assurer la validité des résultats qu'on connaît dans les espaces Euclidiens. Pour les espaces de Hilbert, une de ces conditions topologiques est la complétude, i.e. le fait que toute suite de Cauchy soit convergente dans l'espace où elle est définie.

Cette considération montre que la théorie des espaces de Hilbert peut être pensée comme un mélange très élégant d'algèbre, analyse et topologie : ceci est l'héritage de grands mathématiciens du début de vingtième siècle, entre autres Riesz, Banach et, évidemment, Hilbert, qui ont mis en lumière l'exigence de ce mélange pour étendre les résultats classiques de l'algèbre et de l'analyse à la dimension infinie.

Une transformation linéaire particulièrement importante sera le fil rouge de ce cours : la transformée de Fourier. On examinera d'abord ses propriétés en dimension finie, avec ce qu'on appelle transformée de Fourier discrète, et on passera après à l'extension en dimension infinie, en considérant différent domaines pour cette transformation.

Bien assimiler les concepts introduits dans ce cours est essentiel pour l'évolution de la carrière d'un mathématicien dans toute direction, soit elle théorique ou appliquée, et permet de faire connaissance avec des techniques et des outils mathématiques développés dans une période particulièrement fertile et créative de l'histoire de la science. Ces techniques et ces outils restent toujours actuelles dans la recherche mathématique pure et appliquée.

La division en chapitres thématiques est la suivante :

1. Les espaces vectoriels avec produit scalaire (ou pre-Hilbertiens)

2. La transformée de Fourier discrète

3. Rappel sur la théorie de la mesure et de l'intégration à la Lebesgue

4. Espaces de Banach et de Hilbert

5. La structure géométrique des espaces de Hilbert

6. Les opérateurs linéaires bornés dans les espaces de Hilbert

7. La convergence uniforme, forte et faible.

Lectures recommandées :

Polycopiés rédigés par l'enseignant responsable.

Compétences :
  • Connaitre les propriétés algébriques, analytiques et géométriques des espaces de fonctions
  • Maitriser les outils de l’intégration

Organisation pédagogique

le mode de fonctionnement de l'UE est présenté au début des enseignements

Contrôle des connaissances

Session 1

Devoir surveillé  1h30  coeff 0,50

Examen terminal écrit d'1h30   coeff 0,50

Session 2

Epreuve écrite 3h00 coeff 1

Lectures recommandées

l'ensemble des références bibliographiques est communiqué au début des enseignements

Responsable de l'unité d'enseignement

Edoardo Provenzi

Enseignants

la composition de l'ensemble de l'équipe pédagogique est communiquée au début des enseignements