Structures algébriques 2

Informations

Langue d'enseignement : Français
Crédits ECTS: 6

Programme

  • Heures d'enseignement dispensées à l'étudiant : 50 heures
  • Temps de travail personnel : 100 heures

Objectifs et compétences

Objectifs :
Introduire les notions d'anneau et de corps fini.

Parmi les points abordes :

0) Rappel sur les groupes quotients.

1) Anneaux-quotients. Théorème de factorisation des morphismes d'anneaux.

2) Anneaux factoriels.

a) Définition, propriétés arithmétiques (en particulier PGCD et PPCM, lemmes de Gauss et

d'Euclide). Application à la résolution d'équations diophantiennes.

b) Polynômes irréductibles à coefficients dans un anneau factoriel ou son corps des fractions

(contenu et théorème de Gauss). Critères d'irréductibilité d'Eisenstein et par réduction.

3) Extensions de corps commutatifs.

a) Elément algébrique sur un corps commutatif, polynôme minimal associé et description de la

sous-extension engendrée. Extensions algébriques.

b) Exemples de nombres transcendants (sur Q).

c) Extensions finies. Théorème de la base télescopique et degré. Une extension finie est algébrique.

4) Extensions remarquables de corps commutatifs.

a) Extensions quadratiques et application aux constructions à la règle et au compas.

b) Extensions cyclotomiques de Q et polynômes cyclotomiques (en particulier leur irréductibilité

sur Q).

5) Corps de rupture et de décomposition d'un polynôme à coefficients dans un corps

commutatif.

6) Corps finis. Existence et unicité à isomorphisme près; le groupe multiplicatif d'un corps fini est

cyclique. Exemples de constructions concrètes de corps finis. Applications possibles: carrés dans

Z/pZ avec p premier, symbole de Legendre et loi de réciprocité quadratique; codes correcteurs

Compétences :
  • Connaitre les propriétés des différentes structures algébriques.

Organisation pédagogique

le mode de fonctionnement de l'UE est présenté au début des enseignements

Contrôle des connaissances

- session 1: Examen final (3h) -- coef 0.7 + Contrôle continu (comportant 1 DS 1h30) -- coef 0.3

- session 2: Max(Examen final session 2 (3h), 0.7*Examen final session 2+ 0.3 * report Contrôle Continu session 1)

Les épreuves terminales écrites pourront être remplacées en seconde session par un oral en cas d'effectif faible

Lectures recommandées

l'ensemble des références bibliographiques est communiqué au début des enseignements

Responsable de l'unité d'enseignement

Qing Liu

Enseignants

la composition de l'ensemble de l'équipe pédagogique est communiquée au début des enseignements