Algèbre bilinéaire et géométrie

Informations

Langue d'enseignement : Français
Crédits ECTS: 6

Programme

  • Heures d'enseignement dispensées à l'étudiant : 50 heures
  • Temps de travail personnel : 100 heures

Objectifs et compétences

Objectifs :
L'objectif principal est de formaliser l'idée de produit scalaire vue au lycée et d'introduire la notion d'espace vectoriel euclidien (et éventuellement hermitien), ainsi que les principales notions géométriques associées. On étudiera également des types importants d'applications linéaires liées à un produit scalaire, comme les isométries et les endomorphismes symétriques.

Parmi les points abordés :

1) Formes bilinéaires symétriques et formes quadratiques : polarisation ; matrice associée en dimension finie ; existence de bases orthogonales et méthode de Gauss ; classification

sur R (Sylvester) et C.

2) Espaces vectoriels euclidiens :

a) Produit scalaire sur un R-espace vectoriel. Inégalité de Cauchy-Schwarz. Norme et distance

euclidiennes. Mesure des angles non orientés et formule d'Al-Kashi.

b) Orthogonalité : théorème de Pythagore ; bases orthonormées et orthogonalisation de Gram-Schmidt ; exemple des polynômes orthogonaux ; sous-espaces orthogonaux ; projection orthogonale et distance à un sous espace.

c) Produit vectoriel et produit mixte dans un espace euclidien orienté de dimension 3. Interprétation géométrique.

3) Diagonalisation d'un endomorphisme symétrique dans une base orthonormée d'un espace vectoriel euclidien.

4) Groupe orthogonal d'un espace vectoriel euclidien : symétries orthogonales ; caractérisation des isométries ; matrices orthogonales et leur réduction ; rotations et classification en dimensions 2 et 3.

5) Mesure des angles orientés dans un plan vectoriel euclidien.

Compétences :
  • Être familiarisé avec les propriétés algébriques, analytiques et géométriques de R et Rn.
  • Développer une intuition géométrique
  • Savoir étudier les applications linéaires d'un point de vue théorique ou numérique.

Organisation pédagogique

le mode de fonctionnement de l'UE est présenté au début des enseignements

Contrôle des connaissances

- session 1: Examen final (3h) -- coef 0.7 + Contrôle continu (comportant 1 DS 1h30) -- coef 0.3

- session 2: Max(Examen final session 2 (3h), 0.7*Examen final session 2+ 0.3 * report Contrôle Continu session 1)

Les épreuves terminales écrites pourront être remplacées en seconde session par un oral en cas d'effectif faible

Lectures recommandées

l'ensemble des références bibliographiques est communiqué au début des enseignements

Responsable de l'unité d'enseignement

Laurent Bessieres

Enseignants

la composition de l'ensemble de l'équipe pédagogique est communiquée au début des enseignements