Structures algébriques 1

Informations

Langue d'enseignement : Français
Crédits ECTS: 9

Programme

  • Heures d'enseignement dispensées à l'étudiant : 75 heures
  • Temps de travail personnel : 150 heures

Objectifs et compétences

Objectifs :
Initier les étudiants aux structures algébriques fondamentales que sont les groupes et les anneaux.

Parmi les points abordés :

1) Relations d'équivalence et lois de composition sur un ensemble.

2) Groupes. Notations multiplicative et additive (pour un groupe abélien); calculs dans un groupe.

a) Sous-groupes; sous-groupe engendré par une partie non vide; sous-groupes de Z et leur lien avec l'arithmétique des entiers relatifs. Morphismes de groupes, noyau d'un morphisme de groupes. Produits cartésiens de groupes.

b) Groupes cycliques. Les groupes (Z/nZ,+) et U_n des racines n-ièmes de l'unité dans C. Sous-groupes et générateurs d'un groupe cyclique. Classification à isomorphisme près.

c) Groupe des permutations d'un ensemble fini. Décompositions en produit de transpositions et de cycles à supports disjoints. Classes de conjugaison. Signature et groupe alterné.

d) Classes à gauche ou à droite modulo un sous-groupe. Sous-groupes d'indice fini et théorème de Lagrange. Eléments d'ordre fini dans un groupe; cas des groupes finis (l'ordre d'un élément divise l'ordre du groupe). Les groupes d'ordre premier sont cycliques.

e) Action de groupe (introduction)

f) Introduction à la notion de groupe quotient ;sous-groupes distingués et groupes-quotients. Théorème de factorisation des morphismes de groupes.

3) Anneaux (unitaires). Calculs dans un anneau (en particulier formule du binôme et identité remarquable

a^n-b^n=(a-b)(a^(n-1)b^0+...+a^0b^{n-1}) si ab=ba).

Eléments remarquables dans un anneau (groupe des inversibles, éléments nilpotents, diviseurs de 0). Notion de corps.

a) Sous-anneaux. Morphismes d'anneaux, noyau d'un morphisme d'anneaux. Caractéristique d'un anneau; cas des corps. Produits cartésiens d'anneaux.

b) Les anneaux Z et Z/nZ. Eléments inversibles. Théorème chinois. Fonction phi d'Euler, théorème d'Euler Fermat. Applications : primalité; cryptographie RSA.

c) Polynômes à coefficients dans un anneau commutatif A : en s'appuyant sur le cours de S3 pour les polynômes à coefficients dans R ou C. Rappels : Fonction polynômiale associée, racines d'un polynôme; racines multiples et dérivation formelle.

Relation coefficients-racines dans le cas scindé; majoration du nombre de racines par le degré pour A intègre. Formule de Taylor en caractéristique nulle.

d) Idéaux d'un anneau commutatif; notions d'idéal principal, de type fini,

4) Divisibilité dans un anneau commutatif intègre.

a) Interprétation de la divisibilité en termes d'idéaux. Eléments associés, éléments irréductibles.

b) Anneaux principaux et euclidiens. Propriétés arithmétiques (PGCD, PPCM, théorèmes de Bézout et Gauss, décomposition en produits d'éléments irréductibles). Cas mis en avant: Z et K[X],

où K est un corps commutatif (en particulier K= R ou C ou Z/pZ).

5) Corps des fractions d'un anneau commutatif intègre. Exemples: Q et K(X), où K est un corps commutatif. Décomposition en éléments simples des fractions rationnelles.

Compétences :
  • Connaitre les propriétés des différentes structures algébriques.

Organisation pédagogique

le mode de fonctionnement de l'UE est présenté au début des enseignements

Contrôle des connaissances

session 1: Examen final (3h) -- coef 0.7 + Contrôle continu (comportant 1 DS 1h30) -- coef 0.3

session 2: Max(Examen final session 2 (3h), 0.7*Examen final session 2+ 0.3 * report Contrôle Continu session 1)

Les épreuves terminales écrites pourront être remplacées en seconde session par un oral en cas d'effectif faible

Lectures recommandées

l'ensemble des références bibliographiques est communiqué au début des enseignements

Responsable de l'unité d'enseignement

Elise Goujard

Enseignants

la composition de l'ensemble de l'équipe pédagogique est communiquée au début des enseignements