Algèbre linéaire 2

Informations

Langue d'enseignement : Français
Crédits ECTS: 9

Programme

  • Heures d'enseignement dispensées à l'étudiant : 75 heures
  • Temps de travail personnel : 150 heures

Objectifs et compétences

Objectifs :
L’objectif de cette unité d’enseignement est l’apprentissage des notions de déterminant, de réduction des endomorphismes linéaires et des matrices carrées ainsi que l’étude des polynômes. On aboutira à une mise en pratique effective des méthodes de réduction.

Parmi les notions abordées :

1) Le vocabulaire des lois de composition sur un ensemble.

Groupes, morphisme de groupe (avec exemple de Z/nZ, des permutations)  ; expression d'une permutation comme produit de transpositions, signature

Anneau (avec exemple de Z/nZ et Mn(C))

2-Polynômes à coefficients dans un corps (exemples R ou C)

- Division euclidienne. PGCD, PPCM, Bézout.

- Racines d'un polynôme, lien racines multiple et dérivée, énoncé du théorème de d'Alembert.

- Polynômes irréductibles dans R et C.

3-Réduction des endomorphismes

- Rappel sur la notion de somme de sous espace, somme directe 

- Déterminant d'une matrice

- Éléments propres

- Polynôme caractéristique et polynôme minimal

- Théorème de Cayley-Hamilton

- Diagonalisation et trigonalisation; symétrique réelle implique diagonalisable dans Mn(R) (énoncé)

- Application au calcul de A^n, et aux suites récurrentes linéaires.

Compétences :
  • Être familiarisé avec les propriétés algébriques, analytiques et géométriques de R et Rn.
  • Connaitre les propriétés des différentes structures algébriques.
  • Développer une intuition géométrique
  • Savoir étudier les applications linéaires d'un point de vue théorique ou numérique.

Organisation pédagogique

le mode de fonctionnement de l'UE est présenté au début des enseignements

Contrôle des connaissances

- session 1: Examen final (3h) -- coef 0.6 + Contrôle continu (comportant 2 DS 1h30) -- coef 0.4

- session 2: Max(Examen final session 2 (3h), 0.6*Examen final session 2+ 0.4 * report Contrôle Continu session 1)

Les épreuves terminales écrites pourront être remplacées en seconde session par un oral en cas d'effectif faible

Lectures recommandées

l'ensemble des références bibliographiques est communiqué au début des enseignements

Responsable de l'unité d'enseignement

Franck Sueur

Enseignants

la composition de l'ensemble de l'équipe pédagogique est communiquée au début des enseignements