Calcul formel

Informations

Langue d'enseignement : Français
Crédits ECTS: 6

Programme

  • Heures d'enseignement dispensées à l'étudiant : 50 heures
  • Temps de travail personnel : 100 heures

Objectifs et compétences

Objectifs :
Apprendre à représenter et manipuler les structures algébriques avec comme objectif le calcul.

(1) Représentation et manipulation de structures algébriques.

(a) Complexité des opérations élémentaires dans Z et R[X] (division euclidienne et pgcd), algorithmes naïfs et sous-quadratiques.

(b) Applications : représentation de corps de fractions, de quotients, en particulier nombres algébriques et corps finis), de complétions (R, séries formelles), sommes directes.

(2) Algorithmes algébriques fondamentaux.

(a) Euclide étendu et applications : inverse modulaire, lemme chinois effectif (calcul modulaire), évaluation/interpolation (d'Hermite).

(b) Exponentiation binaire.

(c) Symbole de Legendre / Jacobi (racines carrées dans Z/pZ et Z/p^nZ).

(d) Tests de non-primalité (Solovay-Strassen, Rabin-Miller).

(e) Générateurs d'un groupe cyclique et preuve de primalité.

(f) Le crible d'Eratosthène.

(g) Factorisation dans Z et K[X].

(3) Systèmes polynomiaux.

(a) Systèmes linéaires sur Z ou K[X], systèmes de congruences.

(b) Idéaux de K[x1,...,xn], division euclidienne, bases de Gröbner.

Compétences :
  • Connaître le ou les champs professionnel(s) associé(s) à la discipline.

  • Maitriser les concepts fondamentaux en mathématiques et en probabilité

  • Être capable de mettre en oeuvre des algorithmes de base de calcul scientifique
  • Utiliser des logiciels de calcul formel et scientifique
  • Connaitre les propriétés des différentes structures algébriques.

  • Utiliser des outils mathématiques (y compris le calcul numérique et matriciel) et statistiques.

Organisation pédagogique

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Contrôle des connaissances

1ère session :

Contrôle continu - coef. 0,4

Examen écrit terminal (3h)- coef. 0,6

Note 1ère session = 0,4*Contrôle continu + 0,6*Examen écrit terminal

2ème session :

Examen écrit terminal (3h)- coef. 0,6

Note 2nde session = 0,6*Examen écrit terminal session 2 + 0,4*note max(contrôle continu de session 1; examen écrit terminal session 2)

Lectures recommandées

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Responsable de l'unité d'enseignement

Gilles Zemor

Enseignants

- Non défini -