Analyse complexe

Informations

Langue d'enseignement : Français
Crédits ECTS: 6

Programme

  • Heures d'enseignement dispensées à l'étudiant : 50 heures
  • Temps de travail personnel : 100 heures

Objectifs et compétences

Objectifs :
Assimiler les notions fondamentales de l'analyse complexe et études d'applications classiques

Principaux thèmes abordés:

(1) Fonctions holomorphes.

(a) C-différentiabilité.

(b) Conditions de Cauchy-Riemann, harmonicité des fonctions holomorphes et de leur partie réelle.

(c) Série entière complexes.

(2) Formules de Cauchy.

(a) Intégrale curviligne le long de courbes régulières, indice.

(b) Formule intégrale de Cauchy (formule de Cauchy/inégalités de Cauchy).

(3) Applications de la formule de Cauchy.

(a) Principe du maximum.

(b) Théorème de Liouville.

(c) Principe des zéros isolés.

(d) Singularités éliminables.

(e) Application ouverte.

(f) Théorème de Morera.

(g) Principe de l'argument.

(4) Suites de Fonctions/ Intégrales.

(a) Suites de fonctions holomorphes (convergence uniforme sur tout compact).

(b) Intégrales dépendant d'un paramètre complexe, primitives d'une fonction holomorphe sur un ouvert étoilé.

(c) Logarithme complexe.

(d) Théorème de Riemann (homotopie, domaine simplement connexe, énoncé, démonstration en DM), exemple du demi-plan.

(5) Théorie Locale de Fonctions holomorphes.

(a) Singularité de fonction holomorphe, séries de Laurent.

(b) Théorème des résidus.

(c) Applications de la formule des résidus au calcul d'intégrales, transformées de Fourier.

(6) Formule de Green-Riemann et Cauchy-Pompeiu (2h de cours, pas de TD).

Compétences :
  • Être en capacité d'investir ses connaissances et aptitudes dans le cadre d'une mise en situation professionnelle.
  • Identifier et situer les champs professionnels potentiellement en relation avec les acquis de la mention ainsi que les parcours possibles pour y accéder
  • Etre capable de communiquer des résultats à l'écrit et à l'oral
  • Mobiliser les ressources de Formation à Distance
  • Travailler en équipe autant qu’en autonomie et responsabilité au service d’un projet
  • se servir aisément de la compréhension et de l'expression écrites et orales en anglais
  • Sensibilisation à la pratique professionnelle

  • Être autonome dans le travail
  • Faire preuve de capacités de recherche d'informations, d'analyse et de synthèse.
  • Maîtriser l'expression écrite et orale de la langue française et ses techniques d'expression
  • Maitriser le vocabulaire technique des différents enseignements
  • Savoir construire et rédiger un état de l'art
  • Analyser et synthétiser des données en vue de leur exploitation
  • Développer une argumentation avec esprit critique
  • S’organiser individuellement, gérer son temps et ses priorités, planifier ; s’autoévaluer
  • Poursuivre par soi-même ses apprentissages ; se préparer à se former tout au long de la vie
  • Faire preuve d’initiative et de créativité
  • Être autonome dans l’activité d’écriture et montrer à cette occasion sa capacité à communiquer sa pensée, à raisonner et à organiser ses connaissances.
  • Construire et illustrer un exposé adapté à l’objet, aux circonstances et au public ; prendre la parole en public ou en équipe
  • Construire et développer une argumentation.
  • Maitriser les concepts fondamentaux en mathématiques et en probabilité
  • Rédiger des documents de travail ( rapports, notes de synthèse...) adaptés aux personnes et situations rencontrées et appropriés aux organisations et structures concernées
  • Identifier et sélectionner diverses ressources spécialisées pour documenter un sujet
  • Se servir aisément de la compréhension et de l’expression écrites et orales dans au moins une langue vivante étrangère
  • Savoir se remettre en question, faire preuve d'esprit critique

  • Connaître et mettre en application les principaux modèles mathématiques intervenant dans les différentes disciplines connexes du domaine Sciences et Technologies mais aussi des autres domaines
  • Maîtriser les bases de la logique et organiser un raisonnement mathématique.
  • Mettre en œuvre une intuition géométrique.
  • Construire et rédiger une démonstration mathématique synthétique et rigoureuse.
  • Être familiarisé avec les propriétés algébriques, analytiques et géométriques des espaces R, R2, R3.
  • Être capable de résoudre des équations (linéaires, algébriques, différentielles) de façon exacte et par des méthodes numériques.
  • Maîtriser la notion d'approximation en s'appuyant sur les notions de limite, de norme, de comparaison asymptotique et la notion d'ordre de grandeur.
  • Être capable de traduire un problème simple en langage mathématique.
  • Maîtriser les techniques courantes en mathématiques pures et appliquées, dans le but d'un approfondissement ultérieur ou de leur transmission dans le cadre dune situation professionnelle
  • Être familiarisé avec les propriétés algébriques, analytiques et géométriques de R et Rn.
  • Connaitre les propriétés des différentes structures algébriques.
  • Savoir résoudre des équations de façon qualitative.

  • Suivre l’évolution des connaissances et transmettre son savoir
  • Manipuler les principaux modèles mathématiques utilisés en ingénierie.
  • Utiliser des outils mathématiques (y compris le calcul numérique et matriciel) et statistiques.
  • Etre en capacité de réinvestir les connaissances acquises dans un contexte professionnel.
  • Savoir construire une leçon de mathématiques
  • Mobiliser les concepts mathématiques, informatiques, de la physique et de la chimie pour gérer et résoudre des problématiques à fort niveau d’abstraction

Organisation pédagogique

- Non défini -

Contrôle des connaissances

1ère session :

Contrôle continu - coef. 0,4

Examen écrit terminal (3h)- coef. 0,6

Note 1ère session = 0,4*Contrôle continu + 0,6*Examen écrit terminal

2ème session :

Examen écrit (3h)ou oral selon effectif - coef. 0,6

Note 2nde session = 0,6*Examen écrit terminal session 2 + 0,4*note max(contrôle continu de session 1; examen écrit terminal session 2)

Lectures recommandées

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Responsable de l'unité d'enseignement

Karim Kellay

Enseignants

- Non défini -